[집합과 명제] 고등학교수학 집합과 명제 요점정리

집합과 명제 2. 부정과 진리집합

집합과 명제 두 번째는 부정과 진리집합 입니다. 어떤 명제 p에 대하여 'p가 아니다'를 명제 p의 부정이라

하고, 기호로 ~p와 같이 나타냅니다. 명제 p가 참이면 ~p는 거짓이고 명제 p가 거짓이면 ~p는 참이 됩니다.

또 ~p의 부정은 ~(~p)이므로 p가 됩니다. 집합과 명제에서 진리집합의 예를 들면 다음과 같습니다.

전체집합이 U={1, 2, 3, 4, 5, 6}일 때,

'p(x) : x는 2의 배수이다.' 의 부정은  ~p(x) : x는 2의 배수가 아니다.

p(x)의 진리집합은 P={2, 4, 6}, ~p(x)의 진리집합은 {1, 3, 5}=Pc

집합과 명제 3. 명제 p→q와 진리집합

집합과 명제 세 번째는 명제 p→q와 진리집합 입니다. 명제 p→q의 가정 p와 겨론 q의 진리집합을 각각

 P,Q라고 할 때 P⊂Q이면 명제 p→q는 참이 됩니다. P원본 사진을 불러올 수 없습니다.Q 이면 명제 p→q는 거짓이 됩니다.

명제 p→q가 거짓임을 보이기 위해서는 p를 만족시키는 것 중에서 q를 만족시키지 않는 예가

적어도 하나 있음을 말하면 되는데요, 이와 같은 예를 반례라고 합니다. 집합과 명제의 예로 풀어볼까요?

‘4의 배수는 2의 배수이다.’의 참, 거짓을 판별하여라.

풀이) p : x는 4의 배수이다.  q : x는 2의 배수이다.

p의 진리집합 P={4, 8, 12, …}

q의 진리집합 Q={2, 4, 6, 8, 10, 12…}

P⊂Q이므로 주어진 명제는 참이다.

집합과 명제 4. '모든'과 '어떤'이 들어 있는 명제

집합과 명제 네 번째는 '모든'과 '어떤'이 들어 있는 명제 입니다. 모든 x에 대해서 p이다ⓐ 인 명제에서

조건 p의 진리집합을 P라고 할 때 P=∪이면 참이고 P≠∪이면 거짓입니다. 한편 ⓐ의 부정은

어떤 x에 대하여 ~p이다 입니다. 어떤 x에 대하여 p이다ⓑ인 명제에서 P≠∪ 즉, P^c≠Ø일때 참이어야

하므로 조건 p의 진리집합을 P라고 할 때 P≠Ø이면 참이고 P=Ø이면 거짓입니다. 한편,

ⓑ의 부정은 P≠Ø, 즉 P^c=∪일 때 참이어야 하므로 모든x에 대하여 ~p이다 입니다.